Las grandes bibliotecas del mundo contienen millones de volúmenes, el equivalente a unos 1014 bits de información en palabras, y quizás a 1015 en imágenes. Esto equivale a diez mil veces más información que la de nuestros genes, y unas diez veces más que la de nuestro cerebro. Si termino un libro por semana solo leeré unos pocos miles de libros en toda mi vida... El truco consiste en saber qué libros hay que leer.— Carl Sagan, 1980
Hemos escrito este texto, dedicado a los estudiantes de 1er año del Bachillerato Diversificado (curso que tradicionalmente se ha denominado 4.º año), con el mismo espíritu que el adoptado en los demás volúmenes que integran la Colección Cánepa (Aritmética 1er año, Geometría 1er año y Matemática 5.º año), espíritu que la Colección ha mantenido durante casi una década.
Y, en esta dirección, hemos jerarquizado siempre cuatro objetivos cardinales: (i) informativo, (ii) educativo, (iii) instrumental-científico y, finalmente, (iv) instrumental-cotidiano. Ellos han de constituir un norte adecuado.
(i) El objetivo informativo consiste en la adquisición de conocimientos matemáticos básicos, los cuales deben formar parte, quiérase o no, de la cultura de cada uno de nosotros.
Así, a modo de prerrequisitos (Capítulo 0), revisamos amplias porciones de información manejada por el estudiante en los cursos anteriores.
El Profesor, habida cuenta de la formación del educando y de otras consideraciones propedéuticas que estime adecuadas, evaluará la conveniencia o no de realizar una puesta a punto en clase de los temas allí recordados.
En el Capítulo 1 repasamos una idea fundamental de la Matemática: la idea de función, en torno a la cual gira gran parte del curso.
Las funciones lineales (Capítulo 2) constituyen la primera clase de funciones estudiadas con cierto detalle. En este tópico hemos jerarquizado el concepto de pendiente, que el estudiante debe manejar con soltura, dada la enorme versatilidad que dicha noción posee a nivel elemental.
Es en el Capítulo 3 (funciones cuadráticas) donde el alumno se enfrenta con ideas matemáticas prácticamente nuevas. La información que debe procesar al respecto resulta una sólida plataforma sobre la cual se edificarán varias de las nociones algebraicas de los cursos subsiguientes.
El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas (Capítulo 4) es la lógica continuación de los conceptos desarrollados en el curso previo. Aunque nos hemos abstenido de exponer una teoría sobre estos sistemas, creemos haber sembrado un conjunto de fértiles ideas que darán sus frutos en años posteriores.
¡No todas las funciones elementales tienen como dominio el conjunto de los números reales! Un ejemplo interesante puede apreciarse al estudiar las funciones homográficas del Capítulo 5. Con ellas se pone de relieve, de un modo espectacular, la vieja máxima: ¡No dividas por cero!
Desde la época de nuestros abuelos, es en cuarto año cuando la trigonometría de triángulos rectángulos se extiende a triángulos cualesquiera. Hoy, además, la tecnología hace su diferencia. El uso de las calculadoras ha simplificado enormemente los cálculos, y esta circunstancia permite economizar buena parte del tiempo que antes se destinaba al engorroso empleo de tablas trigonométricas. Este ahorro ha sido bien invertido: el lugar elegido para su depósito es un banco de aplicaciones a las Ciencias. Se cumple así nuestro objetivo de dirigir la información hacia áreas más fecundas, que generan un mayor interés.
Las sucesiones reales (Capítulo 7) constituyen una colección especial de funciones, y han sido abordadas con un enfoque que pone este hecho claramente de manifiesto.
Los Capítulos 8 y 9 constituyen, a nuestro juicio, la parte más original del libro. En ellos aparecen dos importantísimas funciones: la exponencial y la logarítmica. La exponencial se introduce a partir del minucioso análisis de una extraña herencia. El origen de los logaritmos se presenta ante los ojos del lector mediante un sueño (¿pesadilla para algunos?) que evoca referencias históricas llenas de realismo.
En estos capítulos, la calculadora vuelve a jugar su papel dinamizador.
A la Geometría están consagradas las últimas dos unidades temáticas: actividades geométricas en el plano (Capítulo 10) y actividades geométricas en el espacio (Capítulo 11).
Sin una adecuada estructura axiomática (o semiaxiomática), resulta claro que debemos asignar a la intuición buena parte de la responsabilidad de nuestras aseveraciones geométricas. Sin embargo, nos hemos esforzado por crear atolones deductivos siempre que ello nos ha sido posible.
De lo expresado se desgrana nuestra preocupación constante por plasmar en el texto un enfoque moderno, ameno y riguroso.
Parafraseando a Carl Sagan: el truco consiste en saber qué información hay que transmitir.
(ii) El objetivo educativo de la Matemática propone mejorar en el alumno su intuición abstracta, su capacidad conjetural, su habilidad deductiva y, finalmente, la integración de estos tres aspectos. Ríos de tinta y torrentes de palabras han corrido bajo los puentes de cómo se logra un sano equilibrio entre las cualidades señaladas, razón por la que no incursionaremos al respecto desde un ángulo teórico.
Hemos puesto especial cuidado en la didáctica de cada tema, introduciendo las nuevas ideas mediante ejemplos fermentales.
Dos criterios han guiado la selección de los numerosos ejercicios y problemas propuestos. Por un lado, se ha pretendido que nuestros jóvenes lectores sean capaces de diseñar estrategias de resolución, metodología que les posibilitará un real aprovechamiento del curso y la adquisición de una sólida formación matemática. Esta actividad resulta más estimulante que aquella que únicamente canaliza las energías en pro de una memorización de recetas. Sin temor a equivocarnos, afirmamos que el educando ha asimilado los contenidos cuando no fracasa al resolver situaciones análogas a las ejercitadas que impliquen una mínima e intransferible dosis de reflexión personal. En caso contrario, el estudiante podrá tener una indigestión de información, pero poco habrá comprendido del tema.
Por otro lado, y sin perjuicio de lo anterior, la sistematización ha de resultar inevitable para la familiarización de algunos conceptos. Así, la habilidad para resolver ecuaciones en tiempo y forma solo se obtiene resolviendo muchas ecuaciones... ¡a la vieja usanza! Los ajedrecistas deben jugar cientos de partidas antes de que realmente tengan un completo dominio del “campo” de juego.
Una correcta graduación de la dificultad de los problemas es conveniente para mantener el interés y evitar la frustración. Esta clasificación debe incluir algunos pequeños saltos, esto es, la aparición de situaciones problemáticas nuevas y sorprendentes para el estudiante. Pues, como afirmara alguna vez René Thom,
“El asombro ante la solución de un problema es indicador de un comienzo en la educación matemática”.
Difícilmente los estudiantes podrían asombrarse si la actividad solo consistiera en recorrer varias veces la misma senda. La motivación genuina sobreviene al enfrentar situaciones cercanas a su realidad que dinamicen su aprendizaje, tanto de la Matemática en sí como de otras áreas del conocimiento.
(iii) Estas reflexiones nos llevan de la mano a recordar el tercer objetivo de la Matemática: el objetivo instrumental-científico, que consiste en diseñar y aplicar modelos matemáticos a diferentes situaciones que acontecen en las demás Ciencias.
Así, por ejemplo, hemos puesto especial énfasis en la formulación de problemas relativos a: Física, Química, Biología, Economía, Geografía, Astronomía, por nombrar algunas disciplinas.
Después de todo, quién osaría estar en desacuerdo con Einstein cuando dijo:
“La Matemática ofrece a las ciencias naturales un cierto grado de seguridad que sin ella no podrían alcanzar”.
(iv) No quisiéramos terminar este análisis sin dejar de mencionar los objetivos instrumentales-cotidianos de nuestra disciplina. Estos persiguen, en principio, la adquisición de un arsenal básico para atacar situaciones de sabor matemático que se suscitan en el diario acontecer.
En este respecto, el alumno encontrará en las páginas del texto aplicaciones concretas: cálculo de áreas, volúmenes, intereses de capital, interpretación de gráficas, etc.
No son pocas las ocasiones en las que el estudiante plantea preguntas tales como: “¿y esto para qué me sirve, Profesor?” Las respuestas a esta clase de inquietudes deben contener sólidos argumentos que dispersen el halo de escepticismo. El alumno ha de sentir que su aprendizaje, aunque no necesariamente lúdico, le posibilita un sano y equilibrado crecimiento intelectual.
Pero, además, el joven debe entender que, de igual modo que la vida conjuga situaciones agradables y placenteras con otras circunstancias arduas e inevitables, el estudio de la Matemática, a pesar de su carácter abstracto (¿o precisamente debido a él?), no es demasiado diferente.
Una adecuada formación matemática permite siempre una contemplación del mundo que complementa la estética que descubren nuestros sentidos.
En cualquier caso, más que con palabras, debemos predicar con el ejemplo. Como dijera José Martí, “hacer es la mejor manera de decir”.
Para finalizar, queremos agradecer:
En primer término, a nuestro entrañable amigo Jorge H. Cánepa, quien con espíritu apasionado e infatigable dedicación aportó su experiencia y no escatimó esfuerzo ni horas para la concreción de este proyecto;
A la joven y excelente dibujante Verónica Leite, por sus elaboradas ilustraciones humorísticas que forman parte del activo del libro, las que, al ser reproducidas, no mantienen la calidad del original;
Al destacado Profesor Mario Guerra, por su amabilidad y valiosas sugerencias al ser consultado sobre temas de Física. Desde luego, toda deficiencia al respecto que aún pueda subsistir es de nuestra responsabilidad;
A nuestras familias, por la infinita paciencia y las múltiples ayudas; en particular, a Silvia, por la invalorable colaboración en varias etapas de la confección del libro, tarea que ha realizado con la incomparable calidad que la caracteriza.
Julio González Cabillón
Leonardo Lois
Montevideo, en la primavera de 1995.